حل فعالیت و کاردرکلاس صفحه 115 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 115 - فعالیت 5 این فعالیت برای کشف **قانون ضرب رادیکال‌ها** طراحی شده است. شما با پر کردن جدول مشاهده خواهید کرد که ریشه دوم حاصل‌ضرب دو عدد (ستون $\sqrt{ab}$) با حاصل‌ضرب ریشه‌های دوم آن دو عدد (ستون $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$) برابر است. --- ### **1. تکمیل جدول** | $a$ | $\sqrt{a}$ | $b$ | $\sqrt{b}$ | $ab$ | $\sqrt{ab}$ | $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ | |---|---|---|---|---|---|---| | 4 | 2 | 9 | 3 | 36 | 6 | 6 | | 9 | 3 | 16 | 4 | 144 | 12 | $3 \times 4 = 12$ | | 4 | 2 | 16 | 4 | 64 | 8 | $2 \times 4 = 8$ | | 25 | 5 | 4 | 2 | 100 | 10 | $5 \times 2 = 10$ | --- ### **2. حدس با مقایسه دو ستون آخر** با مقایسه ستون $\sqrt{ab}$ و ستون $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ مشاهده می‌کنیم که در تمام موارد، مقادیر این دو ستون **برابر** هستند. * **حدس کلامی:** "ریشه دوم حاصل‌ضرب دو عدد نامنفی، برابر با حاصل‌ضرب ریشه‌های دوم آن دو عدد است." * **تکمیل تساوی:** اگر $a$ و $b$ دو عدد مثبت باشند، داریم: $$ \sqrt{ab} = (\mathbf{\sqrt{a}}) (\mathbf{\sqrt{b}}) $$ --- ### **3. بررسی درستی یا نادرستی $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$** **این رابطه نادرست است.** در ریاضیات، رادیکال بر روی جمع توزیع نمی‌شود. برای اثبات نادرستی، کافی است فقط یک مثال نقض از جدول بیاوریم: * **مثال نقض (از سطر اول جدول):** $a=4$ و $b=9$ * **سمت چپ:** $$ \sqrt{a+b} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3.60 $$ * **سمت راست:** $$ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 $$ * **مقایسه:** $3.60 \ne 5$ * **نتیجه‌گیری:** چون $ \sqrt{13} \ne \sqrt{4} + \sqrt{9} $، پس رابطه $ \sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ **نادرست** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 115 - تمرین 1 این تمرین به شما کمک می‌کند تا قانون اصلی ضرب و تجزیه رادیکال‌ها را که در فعالیت 5 کشف کردید، به کار ببرید. این قانون می‌گوید: **ضرب رادیکال‌ها:** $ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} $ و **تجزیه رادیکال‌ها:** $ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $. --- ### **1. $\sqrt{4} \times \sqrt{8} = \square$** * از قانون ضرب استفاده می‌کنیم: دو عدد زیر رادیکال را در هم ضرب کرده و نتیجه را زیر یک رادیکال می‌بریم. $$\sqrt{4} \times \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 8} = \sqrt{32}$$ * **پاسخ:** $$ \sqrt{32} $$ ### **2. $\sqrt{18} \times \sqrt{2} = \square$** * دو عدد زیر رادیکال را در هم ضرب می‌کنیم. $$\sqrt{18} \times \sqrt{2} = \sqrt{18 \times 2} = \sqrt{36}$$ * از آنجایی که $\sqrt{36}$ یک عدد صحیح است، آن را ساده می‌کنیم. $$\sqrt{36} = 6$$ * **پاسخ:** $$ 6 $$ ### **3. $\sqrt{14} = \sqrt{7} \times \square$** * از قانون تجزیه استفاده می‌کنیم. می‌دانیم $14 = 7 \times 2$. $$\sqrt{14} = \sqrt{7 \times 2} = \sqrt{7} \times \sqrt{2}$$ * **پاسخ:** $$ \sqrt{2} $$ ### **4. $\sqrt{200} = \sqrt{100} \times \square$** * از قانون تجزیه استفاده می‌کنیم. می‌دانیم $200 = 100 \times 2$. $$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2}$$ * **پاسخ:** $$ \sqrt{2} $$ ### **5. $\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{16} \times \sqrt{25} = \square \times \square$** * در این قسمت رادیکال تجزیه شده است. حالا باید ریشه‌های دوم را حساب کنیم و حاصل ضرب را بنویسیم. $$\sqrt{16} = 4 \quad \text{و} \quad \sqrt{25} = 5$$ * **ادامه تساوی:** $$\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5$$ * **پاسخ:** $ 4 \times 5 $ * (توجه: اگر از شما خواسته بود تا آخر ساده کنید، می‌شد: $4 \times 5 = 20$)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 115 - تمرین 2 این تمرین توانایی شما را در محاسبه ریشه دوم و همچنین ساده‌سازی رادیکال‌ها بررسی می‌کند. --- ### **بررسی عبارت اول: $\sqrt{50} = 25$** * **سوال:** آیا ریشه دوم عدد 50، برابر با 25 است؟ * برای بررسی، باید $25$ را به توان دو برسانیم: $$ 25^2 = 25 \times 25 = 625 $$ * **نتیجه:** چون $25^2 = 625$ و نه 50، پس $25$ ریشه دوم 50 نیست. * **مقدار تقریبی:** $ \sqrt{50} $ نزدیک به $ \sqrt{49} = 7 $ است. * **درست/نادرست:** **نادرست** --- ### **بررسی عبارت دوم: $\sqrt{50} = 5 \times \sqrt{2}$** * در این عبارت، باید سمت چپ ($\sqrt{50}$) را با استفاده از **قانون ساده کردن رادیکال‌ها** ساده کنیم. * عدد 50 را به صورت ضرب بزرگترین مجذور کامل در یک عدد دیگر می‌نویسیم. بزرگترین مجذور کامل در 50، عدد 25 است ($50 = 25 \times 2$): $$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} $$ * حالا از قانون ضرب رادیکال‌ها استفاده می‌کنیم: $$ \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} $$ * ریشه دوم 25 را حساب می‌کنیم: $$ \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $$ * **نتیجه:** سمت چپ ($\sqrt{50}$) برابر با سمت راست ($5\sqrt{2}$) است. * **درست/نادرست:** **درست**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 115 - تمرین 3 هدف این تمرین، **ساده کردن رادیکال‌ها** است. قاعده اصلی که استفاده می‌کنیم این است: اگر عددی زیر رادیکال داشته باشیم که بتوان آن را به صورت حاصل ضرب یک **مجذور کامل** (عددی که ریشه دوم صحیح دارد مثل 4، 9، 16، 25 و...) در یک عدد دیگر نوشت، می‌توانیم ریشه مجذور کامل را از زیر رادیکال بیرون بیاوریم. قاعده کلی به صورت زیر است: $$ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad \text{و اگر } a \text{ مجذور کامل باشد،} \quad \sqrt{a \times b} = (\sqrt{a}) \sqrt{b} $$ --- ### **1. ساده کردن $\sqrt{8}$** * عدد 8 را به صورت ضرب دو عدد می‌نویسیم که یکی از آن‌ها بزرگترین مجذور کامل ممکن باشد. بزرگترین مجذور کامل در 8، عدد 4 است. $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ ### **2. ساده کردن $\sqrt{18}$** * بزرگترین مجذور کامل در 18، عدد 9 است. $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$ ### **3. ساده کردن $\sqrt{12}$** * بزرگترین مجذور کامل در 12، عدد 4 است. $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ ### **4. ساده کردن $\sqrt{75}$** * بزرگترین مجذور کامل در 75، عدد 25 است. $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$